Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 4 x - 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 x - 3$ como una ecuación.

$y = 4 x - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 y - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 y - 3 = x$ .

$4 y - 3 = x$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x + 3$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 y = x + 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 y = x + 3$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = 4 x - 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 x - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x - 3) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (4 x - 3) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $4 x - 3 + 3$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (4 x - 3) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 5.2.4.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 x - 3) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 x - 3) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 x - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) - 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 4 (\frac{3}{4}) - 3$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 4 (\frac{3}{4}) - 3$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 3 - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = 4 x - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

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