Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} + 6$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 x^{3} + 6$ como una ecuación.

$y = 5 x^{3} + 6$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 y^{3} + 6$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 y^{3} + 6 = x$ .

$5 y^{3} + 6 = x$

Paso 3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{3} = x - 6$

Paso 3.3

Divide cada término en $5 y^{3} = x - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $5 y^{3} = x - 6$ por $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = \frac{x}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$ .

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Paso 3.5.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Paso 3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ como $5$ .

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Paso 3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5}$ como $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Paso 3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ como $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Paso 3.5.5.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{25}}{5}$

Paso 3.5.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$

Paso 3.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 x^{3} + 6)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 6) - 6)}}{5}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Paso 5.2.3.2

Suma $5 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $25$ por $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $125 x^{3}$ como ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Paso 5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})}^{3} + 6$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}$ como $25 (x - 6)$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{25 (x - 6)}$ como ${(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $25$ por $- 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 150}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $25$ de $25 x - 150$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Factoriza $25$ de $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 150}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.4.2

Factoriza $25$ de $- 150$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.2.4.3

Factoriza $25$ de $25 x + 25 \cdot - 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Paso 5.3.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{125}) + 6$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 (25)}) + 6$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 \cdot 25}) + 6$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $x - 6$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x - 6 + 6$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 6 + 6$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

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