Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4 x + 5}{x} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

Paso 2.4

Resta $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x + 5}{x} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 5$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 5$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{x + 5}{x}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{x + 5}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$x > 0$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

Paso 9.1.3

$3.375$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

Paso 9.2.3

$1.5$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

Paso 9.3.3

$6.5$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > 0$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 5 or x > 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Paso 12

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