Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea

$x = 3 \sin (t)$ , donde

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces

$d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a

$3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica

$9$ por

$- 1$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza

$9$ de

$9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza

$9$ de

$- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza

$9$ de

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe

$9 \cos^{2} (t)$ como

${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva

$\cos (t)$ a la potencia de

$1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva

$\cos (t)$ a la potencia de

$1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que

$9$ es constante con respecto a

$t$ , mueve

$9$ fuera de la integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir

$\cos^{2} (t)$ como

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$t$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea

$u = 2 t$ . Entonces

$d u = 2 d t$ , de modo que

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante

$u$ y

$d$

$u$ .

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Paso 9.1

Deja

$u = 2 t$ . Obtén

$\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia

$2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como

$2$ es constante con respecto a

$t$ , la derivada de

$2 t$ con respecto a

$t$ es

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es

$n t^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante

$u$ y

$d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina

$\cos (u)$ y

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$u$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de

$\cos (u)$ con respecto a

$u$ es

$\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de

$t$ con

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de

$t$ con

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Paso 15.3

Combina

$\frac{9}{2}$ y

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Paso 15.4

Multiplica

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica

$\frac{9}{2}$ por

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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