Cálculo Ejemplos

$\int x \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , donde

$u = \ln (x)$ y

$d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina

$\ln (x)$ y

$\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina

$x^{2}$ y

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de

$x^{2}$ y

$x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza

$x$ de

$x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva

$x$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza

$x$ de

$x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Paso 4.2.2.5

Divide

$x$ por

$1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de

$x$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.2.2

Combina

$\frac{\ln (x)}{2}$ y

$x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Paso 6.3

Combina

$x^{2}$ y

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

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