Cálculo Ejemplos

$\int x e^{2 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , donde

$u = x$ y

$d v = e^{2 x}$ .

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$e^{2 x}$ .

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.2

Combina

$x$ y

$\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 3

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Paso 4

Sea

$u = 2 x$ . Entonces

$d u = 2 d x$ , de modo que

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante

$u$ y

$d$

$u$ .

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Paso 4.1

Deja

$u = 2 x$ . Obtén

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como

$2$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$2 x$ con respecto a

$x$ es

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante

$u$ y

$d u$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina

$e^{u}$ y

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$u$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 7.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de

$e^{u}$ con respecto a

$u$ es

$e^{u}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 9

Reescribe

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$2 x$ .

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

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