Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.6.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.7.7

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - B$

Paso 1.1.8

Mueve $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = 2 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = 2 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $2 (1 - B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 2 B$ .

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = 2 - 3 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 - 3 B = 5$ .

$2 - 3 B = 5$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $2$ de $5$ .

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 3 B = 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 3 B = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $- 1$ .

$A = 1 - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (- 1)$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1$

$B = - 1$

Paso 1.3.4.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 7.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$2 \ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| x + 2 |) + C$

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