Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza

$x$ de

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza

$x$ de

$2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza

$x$ de

$3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza

$x$ de

$- 2 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza

$x$ de

$x (2 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza

$x$ de

$x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x - 2)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza.

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

$a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es

$b = 3$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1.1

Factoriza

$3$ de

$3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 (x) - 2)}$

Paso 1.1.1.2.1.1.2

Reescribe

$3$ como

$- 1$ más

$4$

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)}$

Paso 1.1.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)}$

Paso 1.1.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))}$

Paso 1.1.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$2 x - 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x - 1) (x + 2))}$

Paso 1.1.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar

$B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1}$

Paso 1.1.3

$C$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es

$x (2 x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de

$x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de

$2 x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7

Cancela el factor común de

$x + 2$ .

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7.2

Divide

$x^{2} + 2 x - 1$ por

$1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de

$x$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide

$A ((2 x - 1) (x + 2))$ por

$1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A ((2 x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2

Expande

$(2 x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.3.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.3.1.1.1

Mueve

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.1.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.3

Reescribe

$- 1 x$ como

$- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.2

Resta

$x$ de

$4 x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 3 x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2}) + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.5

Simplifica.

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Paso 1.1.8.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.5.3

Mueve

$- 2$ a la izquierda de

$A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6

Cancela el factor común de

$2 x - 1$ .

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Paso 1.1.8.6.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + \frac{B (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6.2

Divide

$(B) (x (x + 2))$ por

$1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.8

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.9

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.10

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12

Cancela el factor común de

$x + 2$ .

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Paso 1.1.8.12.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12.2

Divide

$(C) (x (2 x - 1))$ por

$1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (2 x - 1))$

Paso 1.1.8.13

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.15

Mueve

$- 1$ a la izquierda de

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.8.16

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.16.1

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.16.1.1

Mueve

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.8.16.1.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.8.16.2

Reescribe

$- 1 x$ como

$- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - x)$

Paso 1.1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2}) + C (- x)$

Paso 1.1.8.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} + C (- x)$

Paso 1.1.8.19

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Mueve

$A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.2

Mueve

$A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.3

Reordena

$B$ y

$x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.4

Mueve

$B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.5

Mueve

$- 2 A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.6

Mueve

$2 x B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.7

Mueve

$3 x A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 3 x A + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de

$x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A + B + 2 C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de

$x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen

$x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = - 2 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve

$A$ en

$- 1 = - 2 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como

$- 2 A = - 1$ .

$- 2 A = - 1$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en

$- 2 A = - 1$ por

$- 2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en

$- 2 A = - 1$ por

$- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de

$- 2$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide

$A$ por

$1$ .

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de

$A$ por

$\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de

$A$ en

$1 = 2 A + B + 2 C$ por

$\frac{1}{2}$ .

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de

$A$ en

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$ por

$\frac{1}{2}$ .

$2 = 3 (\frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.4.1.1

Combina

$3$ y

$\frac{1}{2}$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2.4.1.2

Reescribe

$- 1 C$ como

$- C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3

Resuelve

$B$ en

$1 = 1 + B + 2 C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como

$1 + B + 2 C = 1$ .

$1 + B + 2 C = 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan

$B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$B + 2 C = 1 - 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Resta

$2 C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - 1 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Resta

$1$ de

$1$ .

$B = 0 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2.4

Resta

$2 C$ de

$0$ .

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de

$B$ por

$- 2 C$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de

$B$ en

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$ por

$- 2 C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Simplifica

$\frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica

$- 2$ por

$2$ .

$2 = \frac{3}{2} - 4 C - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta

$C$ de

$- 4 C$ .

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5

Resuelve

$C$ en

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$ .

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan

$C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Resta

$\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 C = 2 - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.2

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.3

Combina

$2$ y

$\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.5.1

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$- 5 C = \frac{4 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.5.2

Resta

$3$ de

$4$ .

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3

Divide cada término en

$- 5 C = \frac{1}{2}$ por

$- 5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.1

Divide cada término en

$- 5 C = \frac{1}{2}$ por

$- 5$ .

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de

$- 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.2.1.2

Divide

$C$ por

$1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{5})$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.3.3

Multiplica

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.3.3.1

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{5}$ .

$C = - \frac{1}{2 \cdot 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.3.3.3.2

Multiplica

$2$ por

$5$ .

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de

$C$ por

$- \frac{1}{10}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de

$C$ en

$B = - 2 C$ por

$- \frac{1}{10}$ .

$B = - 2 (- \frac{1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1

Simplifica

$- 2 (- \frac{1}{10})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1.1

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{10}$ al numerador.

$B = - 2 (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.1.2

Factoriza

$2$ de

$- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.1.3

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - 1 (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.3

Multiplica

$- 1 (- \frac{1}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.3.2

Multiplica

$\frac{1}{5}$ por

$1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{5}, C = - \frac{1}{10}, A = \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ con los valores obtenidos para

$A$ ,

$B$ y

$C$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Paso 1.5.2

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Paso 1.5.4

Multiplica

$\frac{1}{5}$ por

$\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Paso 1.5.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Paso 1.5.6

Multiplica

$\frac{1}{x + 2}$ por

$\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 10}$

Paso 1.5.7

Mueve

$10$ a la izquierda de

$x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 3

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 4

La integral de

$\frac{1}{x}$ con respecto a

$x$ es

$\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 5

Dado que

$\frac{1}{5}$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 6

Sea

$u_{1} = 2 x - 1$ . Entonces

$d u_{1} = 2 d x$ , de modo que

$\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante

$u_{1}$ y

$d$

$u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja

$u_{1} = 2 x - 1$ . Obtén

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia

$2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$2 x - 1$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3

Evalúa

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Como

$2$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$2 x$ con respecto a

$x$ es

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.4.1

Como

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- 1$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma

$2$ y

$0$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante

$u_{1}$ y

$d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica

$\frac{1}{u_{1}}$ por

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 7.2

Mueve

$2$ a la izquierda de

$u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 8

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$u_{1}$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 9.2

Multiplica

$2$ por

$5$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 10

La integral de

$\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a

$u_{1}$ es

$\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 11

Dado que

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Paso 12

Dado que

$\frac{1}{10}$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Paso 13

Sea

$u_{2} = x + 2$ . Entonces

$d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante

$u_{2}$ y

$d$

$u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Deja

$u_{2} = x + 2$ . Obtén

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Diferencia

$x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 13.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$x + 2$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 13.1.4

Como

$2$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$2$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$1 + 0$

Paso 13.1.5

Suma

$1$ y

$0$ .

$1$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante

$u_{2}$ y

$d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14

La integral de

$\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a

$u_{2}$ es

$\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de

$u_{1}$ con

$2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de

$u_{2}$ con

$x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| x + 2 |) + C$

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