Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Paso 1

Comprueba si la función es continua sobre la cota de suma.

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Paso 1.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${k | k \in ℝ}$

Paso 1.2

$f (k)$ es continua en $[1, \infty)$ .

$La función es continua.$

Paso 2

Comprueba si la función es positiva sobre las cotas.

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Paso 2.1

Establece una desigualdad.

$k e^{k^{2}} > 0$

Paso 2.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 2.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece $k$ igual a $0$ .

$k = 0$

Paso 2.2.3

Establece $e^{k^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $e^{k^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Paso 2.2.3.2

Resuelve $e^{k^{2}} = 0$ en $k$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Paso 2.2.3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.3.2.3

No hay soluciones para $e^{k^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $k e^{k^{2}} > 0$ verdadera.

$k = 0$

Paso 2.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$k > 0$

Paso 3

Determina dónde disminuye la función.

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Paso 3.1

Escribe $k e^{k^{2}}$ como una función.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Paso 3.2

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ es $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ donde $f (k) = k$ y $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = e^{k}$ y $g (k) = k^{2}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.4

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.5

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Paso 3.2.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $e^{k^{2}}$ por $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Paso 3.2.1.10

Simplifica.

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Paso 3.2.1.10.1

Reordena los términos.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Paso 3.2.1.10.2

Reordena los factores en $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Paso 3.2.2

La primera derivada de $f (k)$ con respecto a $k$ es $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Paso 3.3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

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Paso 3.3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $e^{k^{2}}$ de $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $e^{k^{2}}$ de $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Paso 3.3.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $e^{k^{2}}$ de $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Paso 3.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Paso 3.3.4

Establece $e^{k^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 3.3.4.1

Establece $e^{k^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Paso 3.3.4.2

Resuelve $e^{k^{2}} = 0$ en $k$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Paso 3.3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{k^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 3.3.5

Establece $2 k^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 3.3.5.1

Establece $2 k^{2} + 1$ igual a $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Paso 3.3.5.2

Resuelve $2 k^{2} + 1 = 0$ en $k$ .

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Paso 3.3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k^{2} = - 1$

Paso 3.3.5.2.2

Divide cada término en $2 k^{2} = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 k^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.5.2.2.2.1.2

Divide $k^{2}$ por $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 3.3.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.3.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.3.5.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 3.3.5.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 3.3.5.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.5.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.3.5.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.5.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4

No hay valores de $k$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 3.5

Ningún punto hace que la derivada $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (k) = k e^{k^{2}}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 3.6

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 3.6.1

Reemplaza la variable $k$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.1.4

Simplifica.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 2 e + e$

Paso 3.6.2.1.6

Simplifica.

$f' (1) = 2 e + e$

Paso 3.6.2.2

Suma $2 e$ y $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Paso 3.6.2.3

La respuesta final es $3 e$ .

$3 e$

Paso 3.7

El resultado de sustituir $1$ en $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ es $3 e$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Paso 3.8

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

$Siempre creciente$

Paso 4

La prueba integral no se aplica porque la función no siempre disminuye de $1$ a $\infty$ .

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