Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Paso 1

Para determinar si la serie es convergente, determina si la integral de la secuencia es convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Evalúa $\arctan (x)$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Paso 6.2

El límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $\arctan (1)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Paso 6.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 6.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Paso 6.4.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 7

Como la integral es convergente, la serie es convergente.

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