Cálculo Ejemplos

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Paso 1

Para determinar si la serie es convergente, determina si la integral de la secuencia es convergente.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Escribe la integral como un límite a medida que

t

$t$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a

x

$x$ es

\arctan (x)]_{1}^{t}

$\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Evalúa

\arctan (x)

$\arctan (x)$ en

t

$t$ y en

1

$1$ .

lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis.

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

t

$t$ se aproxima a

\infty

$\infty$ .

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Paso 6.2

El límite a medida que

t

$t$ se acerca a

\infty

$\infty$ es

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Paso 6.3

Evalúa el límite de

\arctan (1)

$\arctan (1)$ que es constante cuando

t

$t$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{π}{2} - \arctan (1)

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Paso 6.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.1

El valor exacto de

\arctan (1)

$\arctan (1)$ es

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.2

Para escribir

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de

4

$4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de

1

$1$ .

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Paso 6.4.3.1

Multiplica

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.3.2

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 6.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\frac{π \cdot 2 - π}{4}

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 6.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.5.1

Mueve

2

$2$ a la izquierda de

π

$π$ .

\frac{2 \cdot π - π}{4}

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Paso 6.4.5.2

Resta

π

$π$ de

2 π

$2 π$ .

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

Paso 7

Como la integral es convergente, la serie es convergente.

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