Cálculo Ejemplos

2

$2$ ,

1

$1$ ,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ,

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ da el término siguiente. En otras palabras,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica:

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Paso 2

La suma de una serie

S_{n}

$S_{n}$ se calcula con la fórmula

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Para la suma de una serie geométrica infinita

S_{\infty}

$S_{\infty}$ , a medida que

n

$n$ se acerca a

\infty

$\infty$ ,

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ se acerca a

1

$1$ . Por ende,

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ se acerca a

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ .

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Paso 3

Los valores

a = 2

$a = 2$ y

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$ pueden incorporarse a la ecuación

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

S_{\infty} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 4

Simplifica la ecuación para obtener

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Escribe

1

$1$ como una fracción con un denominador común.

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2 - 1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 4.1.3

Resta

1

$1$ de

2

$2$ .

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

S_{\infty} = 2 \cdot 2

$S_{\infty} = 2 \cdot 2$

Paso 4.3

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

S_{\infty} = 4

$S_{\infty} = 4$

S_{\infty} = 4

$S_{\infty} = 4$

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