Cálculo Ejemplos

\infty \sum n = 1 {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Paso 1

En una serie infinita

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , obtén el límite de

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar la convergencia usando la prueba de la raíz de Cauchy.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 2

Sustituye por

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el exponente al valor absoluto.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en

{({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de

$n$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Paso 3.3

Simplifica.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite dentro de los signos de valor absoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Paso 4.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de

$n$ en el denominador, que es

$n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común de

$n$ y

$n^{3}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza

$n$ de

$2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza

$n$ de

$n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de

$n^{3}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de

$n^{3}$ .

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.2.2

Divide

$5$ por

$1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que

$n$ se aproxima a

$\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$n$ se aproxima a

$\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.5

Mueve el término

$2$ fuera del límite porque es constante con respecto a

$n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

$\frac{1}{n^{2}}$ se acerca a

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5

Evalúa el límite.

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Paso 4.5.1

Evalúa el límite de

$1$ que es constante cuando

$n$ se acerca a

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$n$ se aproxima a

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5.3

Evalúa el límite de

$5$ que es constante cuando

$n$ se acerca a

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

$\frac{1}{n^{3}}$ se acerca a

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Paso 4.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1.1

Multiplica

$2$ por

$0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Paso 4.7.1.2

Suma

$0$ y

$1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Paso 4.7.2

Suma

$5$ y

$0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Paso 4.7.3

$\frac{1}{5}$ es aproximadamente

$0.2$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$L = \frac{1}{5}$

Paso 4.8

Divide

$1$ por

$5$ .

$L = 0.2$

Paso 5

$L < 1$ , la serie es absolutamente convergente. Si

$L > 1$ , la serie es divergente. Si

$L = 1$ , la prueba queda inconclusa. En este caso,

$L < 1$ .

La serie es convergente en

$[1, \infty)$

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