Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Paso 1

En una serie infinita $\sum_{}^{} a_{n}$ , obtén el límite de $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar la convergencia usando la prueba de la raíz de Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 2

Sustituye por $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el exponente al valor absoluto.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Paso 3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 3.4

Evalúa el exponente.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1

Mueve el límite dentro de los signos de valor absoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 4.1.2

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 4.1.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 4.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Paso 4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 4.2.1

Reescribe $n^{\frac{1}{n}}$ como $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Paso 4.2.2

Expande $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{n}$ fuera del logaritmo.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Paso 4.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{n}$ y $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Paso 4.4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Paso 4.4.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Paso 4.4.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Paso 4.4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Paso 4.4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Paso 4.4.3.2

La derivada de $\ln (n)$ con respecto a $n$ es $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Paso 4.4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Paso 4.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Paso 4.4.5

Multiplica $\frac{1}{n}$ por $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Paso 4.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n}$ se acerca a $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Paso 4.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.6.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Paso 4.6.2.2

Reescribe la expresión.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Paso 4.6.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$L = | - 2 |$

Paso 4.6.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$L = 2$

Paso 5

Si $L < 1$ , la serie es absolutamente convergente. Si $L > 1$ , la serie es divergente. Si $L = 1$ , la prueba queda inconclusa. En este caso, $L > 1$ .

La serie es divergente en $[0, \infty)$

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