Cálculo Ejemplos

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Paso 1

La serie es divergente si el límite de la secuencia a medida que $n$ se acerca a $\infty$ no existe o no es igual a $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $n$ en el denominador, que es $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $n^{2}$ y $n^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $n^{2}$ de $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $n^{2}$ de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite.

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Paso 2.4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.4.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Paso 2.4.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Paso 2.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 2.6.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 2.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Paso 2.6.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 3

El límite existe y no es igual a $0$ , por lo tanto, la serie es divergente.

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