Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Paso 1

Establece $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ igual a $0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.5

Resta $16$ de $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.6

Multiplica $- 11$ por $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Paso 2.1.1.3.7

Resta $22$ de $- 8$ .

$- 30 + 30$

Paso 2.1.1.3.8

Suma $- 30$ y $30$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Paso 2.1.1.5

Divide $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ por $x - 2$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Paso 2.1.1.6

Escribe $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3

Ingresa TU problema