Cálculo Ejemplos

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Paso 1

Establece

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ igual a

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Paso 2

Resuelve

x

$x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Factoriza

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Paso 2.1.1.3

Sustituye

2

$2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a

0

$0$ , por lo que

2

$2$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.3.1

Sustituye

2

$2$ en el polinomio.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.3

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica

- 4

$- 4$ por

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.5

Resta

16

$16$ de

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Paso 2.1.1.3.6

Multiplica

- 11

$- 11$ por

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

Paso 2.1.1.3.7

Resta

22

$22$ de

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

Paso 2.1.1.3.8

Suma

- 30

$- 30$ y

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 2.1.1.4

Como

2

$2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por

x - 2

$x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Paso 2.1.1.5

Divide

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ por

x - 2

$x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo

x^{3}

$x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo

- 15 x

$- 15 x$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

- 15 x + 30

$- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$
										$0$ $0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es

0

$0$ , la respuesta final es el cociente.

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

Paso 2.1.1.6

Escribe

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ como un conjunto de factores.

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Factoriza

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

- 15

$- 15$ y cuya suma es

- 2

$- 2$ .

- 5, 3

$- 5, 3$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece

x - 2

$x - 2$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Establece

x - 2

$x - 2$ igual a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma

2

$2$ a ambos lados de la ecuación.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Paso 2.4

Establece

x - 5

$x - 5$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece

x - 5

$x - 5$ igual a

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma

5

$5$ a ambos lados de la ecuación.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Paso 2.5

Establece

x + 3

$x + 3$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece

x + 3

$x + 3$ igual a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta

3

$3$ de ambos lados de la ecuación.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

x = 2

$x = 2$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

x = 2

$x = 2$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Multiplicidad de

1

$1$ )

Paso 3

Ingresa TU problema