Cálculo Ejemplos

$\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{6}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{6}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{6} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C$

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