Cálculo Ejemplos

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

Paso 1

Deja $u = 2 x - 1$ . Luego, $d u = 2 d x$ . Reescribe usando $u$ y $d u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 \int u^{- 3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Paso 5.1.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Paso 5.2

Simplifica.

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Paso 5.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

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