Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Paso 1

La función

$F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada

$f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Paso 3

Dado que

$7$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$7$ fuera de la integral.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Paso 4

Sea

$u = x - 1$ . Entonces

$d u = d x$ . Reescribe mediante

$u$ y

$d$

$u$ .

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Paso 4.1

Deja

$u = x - 1$ . Obtén

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia

$x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$x - 1$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- 1$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma

$1$ y

$0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante

$u$ y

$d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Paso 5

Multiplica

$(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica

$u$ por

$u^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1

Multiplica

$u$ por

$u^{6}$ .

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Paso 6.1.1.1

Eleva

$u$ a la potencia de

$1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Paso 6.1.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Paso 6.1.2

Suma

$1$ y

$6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Paso 6.2

Multiplica

$u^{6}$ por

$1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de

$u^{7}$ con respecto a

$u$ es

$\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de

$u^{6}$ con respecto a

$u$ es

$\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina

$\frac{1}{8}$ y

$u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Paso 10.1.2

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

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