Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 3 x + 34$ ,

$(0, 34)$

Paso 1

Escribe

$y = x^{2} + 3 x + 34$ como una función.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ en

$x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica

$3$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 34$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma

$0$ y

$0$ .

$f (0) = 0 + 34$

Paso 2.1.2.2.2

Suma

$0$ y

$34$ .

$f (0) = 34$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es

$34$ .

$34$

Paso 2.2

Como

$34 = 34$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$

$=$ La derivada de

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en

$x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.1

Reescribe

${(x + h)}^{2}$ como

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.2

Expande

$(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.3.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.3.1.2

Multiplica

$h$ por

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.3.2

Suma

$x h$ y

$h x$ .

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Paso 5.1.2.1.3.2.1

Reordena

$x$ y

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.3.2.2

Suma

$h x$ y

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Paso 5.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve

$3 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Paso 5.2.2

Mueve

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Paso 5.2.3

Reordena

$2 h x$ y

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

Paso 7.1.3

Resta

$x^{2}$ de

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

Paso 7.1.4

Suma

$h^{2}$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

Paso 7.1.5

Resta

$3 x$ de

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

Paso 7.1.6

Suma

$h^{2}$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

Paso 7.1.7

Resta

$34$ de

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Paso 7.1.8

Suma

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.9

Factoriza

$h$ de

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

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Paso 7.1.9.1

Factoriza

$h$ de

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.9.2

Factoriza

$h$ de

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Paso 7.1.9.3

Factoriza

$h$ de

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.9.4

Factoriza

$h$ de

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.9.5

Factoriza

$h$ de

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de

$h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide

$h + 2 x + 3$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

Paso 7.2.2

Reordena

$h$ y

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$h$ se aproxima a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.2

Evalúa el límite de

$2 x$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.3

Evalúa el límite de

$3$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

Paso 9

Evalúa el límite de

$h$ mediante el ingreso de

$0$ para

$h$ .

$2 x + 0 + 3$

Paso 10

Suma

$2 x$ y

$0$ .

$2 x + 3$

Paso 11

Simplifica

$2 (0) + 3$ .

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Paso 11.1

Multiplica

$2$ por

$0$ .

$m = 0 + 3$

Paso 11.2

Suma

$0$ y

$3$ .

$m = 3$

Paso 12

La pendiente es

$m = 3$ y el punto es

$(0, 34)$ .

$m = 3, (0, 34)$

Paso 13

Obtén el valor de

$b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 13.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener

$b$ .

$y = m x + b$

Paso 13.2

Sustituye el valor de

$m$ en la ecuación.

$y = (3) \cdot x + b$

Paso 13.3

Sustituye el valor de

$x$ en la ecuación.

$y = (3) \cdot (0) + b$

Paso 13.4

Sustituye el valor de

$y$ en la ecuación.

$34 = (3) \cdot (0) + b$

Paso 13.5

Obtén el valor de

$b$ .

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Paso 13.5.1

Reescribe la ecuación como

$(3) \cdot (0) + b = 34$ .

$(3) \cdot (0) + b = 34$

Paso 13.5.2

Simplifica

$(3) \cdot (0) + b$ .

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Paso 13.5.2.1

Multiplica

$3$ por

$0$ .

$0 + b = 34$

Paso 13.5.2.2

Suma

$0$ y

$b$ .

$b = 34$

Paso 14

Ahora que se conocen los valores de

$m$ (pendiente) y

$b$ (intersección con y), sustitúyelos en

$y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 3 x + 34$

Paso 15

Ingresa TU problema