Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{3} + x + 3$ como una función.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Paso 2.1.2.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.1.2.3.1

Suma $3$ y $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (1) = 7$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 2.2

Como $7 = 7$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.3

Simplifica.

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Paso 5.1.2.2.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.3

La respuesta final es $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2.2

Mueve $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2.3

Mueve $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.4

Mueve $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.5

Mueve $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.6

Reordena $9 h^{2} x$ y $3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Paso 7.1.3

Resta $3 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Paso 7.1.4

Suma $3 h^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Paso 7.1.5

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Paso 7.1.6

Suma $3 h^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Paso 7.1.7

Resta $3$ de $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Paso 7.1.8

Suma $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9

Factoriza $h$ de $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

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Paso 7.1.9.1

Factoriza $h$ de $3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9.2

Factoriza $h$ de $9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9.3

Factoriza $h$ de $9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Paso 7.1.9.4

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Paso 7.1.9.5

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.6

Factoriza $h$ de $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.7

Factoriza $h$ de $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.8

Factoriza $h$ de $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Paso 7.2.2.2

Mueve $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Paso 7.2.2.3

Reordena $9 x h$ y $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 9

Evalúa el límite de $9 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 10

Mueve el término $9 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 11

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 12

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 13

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $9 x \cdot 0$ .

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Paso 15.1.1.1

Multiplica $0$ por $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Paso 15.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Paso 15.2

Combina los términos opuestos en $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

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Paso 15.2.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Paso 15.2.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Paso 16

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = 10$ .

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Paso 16.1

Elimina los paréntesis.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Paso 16.2

Simplifica $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$m = 9 + 1$

Paso 16.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$m = 10$

Paso 17

La pendiente es $m = 10$ y el punto es $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Paso 18

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 18.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 18.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (10) \cdot x + b$

Paso 18.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Paso 18.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Paso 18.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 18.5.1

Reescribe la ecuación como $(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Paso 18.5.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 + b = 7$

Paso 18.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 18.5.3.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 7 - 10$

Paso 18.5.3.2

Resta $10$ de $7$ .

$b = - 3$

Paso 19

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 10 x - 3$

Paso 20

Ingresa TU problema