Cálculo Ejemplos

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Paso 1

Escribe $7 x^{2} + 3 x$ como una función.

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Paso 2.1.2.2

Suma $7$ y $3$ .

$f (1) = 10$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 2.2

Como $10 = 10$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 5.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve $3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.2.2

Mueve $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.2.3

Reordena $14 h x$ y $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Paso 7.1.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Paso 7.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Paso 7.1.4

Resta $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Paso 7.1.5

Suma $7 h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Paso 7.1.6

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Paso 7.1.7

Suma $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8

Factoriza $h$ de $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

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Paso 7.1.8.1

Factoriza $h$ de $7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.2

Factoriza $h$ de $14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.3

Factoriza $h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.8.4

Factoriza $h$ de $h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.8.5

Factoriza $h$ de $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide $7 h + 14 x + 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Paso 7.2.2

Reordena $7 h$ y $14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $14 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.3

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Paso 9

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$14 x + 0 + 3$

Paso 10.2

Suma $14 x$ y $0$ .

$14 x + 3$

Paso 11

Simplifica $14 (1) + 3$ .

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Paso 11.1

Multiplica $14$ por $1$ .

$m = 14 + 3$

Paso 11.2

Suma $14$ y $3$ .

$m = 17$

Paso 12

La pendiente es $m = 17$ y el punto es $(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Paso 13

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 13.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 13.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (17) \cdot x + b$

Paso 13.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Paso 13.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Paso 13.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 13.5.1

Reescribe la ecuación como $(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Paso 13.5.2

Multiplica $17$ por $1$ .

$17 + b = 10$

Paso 13.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.5.3.1

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 10 - 17$

Paso 13.5.3.2

Resta $17$ de $10$ .

$b = - 7$

Paso 14

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 17 x - 7$

Paso 15

Ingresa TU problema