Cálculo Ejemplos

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

Paso 1

Escribe

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ como una función.

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ en

x = 1

$x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica

3

$3$ por

1

$1$ .

f (1) = 3 + 1 + 3

$f (1) = 3 + 1 + 3$

f (1) = 3 + 1 + 3

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Paso 2.1.2.3

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Suma

3

$3$ y

1

$1$ .

f (1) = 4 + 3

$f (1) = 4 + 3$

Paso 2.1.2.3.2

Suma

4

$4$ y

3

$3$ .

f (1) = 7

$f (1) = 7$

f (1) = 7

$f (1) = 7$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es

7

$7$ .

7

$7$

7

$7$

7

$7$

Paso 2.2

Como

7 = 7

$7 = 7$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

m

$m$

=

$=$ La derivada de

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en

$x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.3

Simplifica.

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Paso 5.1.2.2.3.1

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.3.2

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.1.2.3

La respuesta final es

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve

$x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2.2

Mueve

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Paso 5.2.3

Mueve

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.4

Mueve

$3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.5

Mueve

$9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.2.6

Reordena

$9 h^{2} x$ y

$3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Paso 7.1.3

Resta

$3 x^{3}$ de

$3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Paso 7.1.4

Suma

$3 h^{3}$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Paso 7.1.5

Resta

$x$ de

$x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Paso 7.1.6

Suma

$3 h^{3}$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Paso 7.1.7

Resta

$3$ de

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Paso 7.1.8

Suma

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9

Factoriza

$h$ de

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

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Paso 7.1.9.1

Factoriza

$h$ de

$3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9.2

Factoriza

$h$ de

$9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Paso 7.1.9.3

Factoriza

$h$ de

$9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Paso 7.1.9.4

Eleva

$h$ a la potencia de

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Paso 7.1.9.5

Factoriza

$h$ de

$h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.6

Factoriza

$h$ de

$h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.7

Factoriza

$h$ de

$h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.9.8

Factoriza

$h$ de

$h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de

$h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide

$3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Mueve

$h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Paso 7.2.2.2

Mueve

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Paso 7.2.2.3

Reordena

$9 x h$ y

$9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$h$ se aproxima a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 9

Evalúa el límite de

$9 x^{2}$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 10

Mueve el término

$9 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 11

Mueve el término

$3$ fuera del límite porque es constante con respecto a

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 12

Mueve el exponente

$2$ de

$h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Paso 13

Evalúa el límite de

$1$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de

$0$ para todos los casos de

$h$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de

$h$ mediante el ingreso de

$0$ para

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Paso 14.2

Evalúa el límite de

$h$ mediante el ingreso de

$0$ para

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica

$9 x \cdot 0$ .

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Paso 15.1.1.1

Multiplica

$0$ por

$9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15.1.1.2

Multiplica

$0$ por

$x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 15.1.2

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Paso 15.1.3

Multiplica

$3$ por

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Paso 15.2

Combina los términos opuestos en

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

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Paso 15.2.1

Suma

$9 x^{2}$ y

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Paso 15.2.2

Suma

$9 x^{2}$ y

$0$ .

$9 x^{2} + 1$

Paso 16

Obtén la pendiente

$m$ . En este caso,

$m = 10$ .

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Paso 16.1

Elimina los paréntesis.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Paso 16.2

Simplifica

$9 \cdot 1^{2} + 1$ .

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Paso 16.2.1.2

Multiplica

$9$ por

$1$ .

$m = 9 + 1$

Paso 16.2.2

Suma

$9$ y

$1$ .

$m = 10$

Paso 17

La pendiente es

$m = 10$ y el punto es

$(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Paso 18

Obtén el valor de

$b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener

$b$ .

$y = m x + b$

Paso 18.2

Sustituye el valor de

$m$ en la ecuación.

$y = (10) \cdot x + b$

Paso 18.3

Sustituye el valor de

$x$ en la ecuación.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Paso 18.4

Sustituye el valor de

$y$ en la ecuación.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Paso 18.5

Obtén el valor de

$b$ .

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Paso 18.5.1

Reescribe la ecuación como

$(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Paso 18.5.2

Multiplica

$10$ por

$1$ .

$10 + b = 7$

Paso 18.5.3

Mueve todos los términos que no contengan

$b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 18.5.3.1

Resta

$10$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 7 - 10$

Paso 18.5.3.2

Resta

$10$ de

$7$ .

$b = - 3$

Paso 19

Ahora que se conocen los valores de

$m$ (pendiente) y

$b$ (intersección con y), sustitúyelos en

$y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 10 x - 3$

Paso 20

Ingresa TU problema