Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{2} + 3 x$ como una función.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 3$

Paso 2.1.2.2

Suma $3$ y $3$ .

$f (1) = 6$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 2.2

Como $6 = 6$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 5.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve $3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.2.2

Mueve $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.2.3

Reordena $6 h x$ y $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Paso 7.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Paso 7.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Paso 7.1.4

Resta $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Paso 7.1.5

Suma $3 h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Paso 7.1.6

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Paso 7.1.7

Suma $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8

Factoriza $3 h$ de $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

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Paso 7.1.8.1

Factoriza $3 h$ de $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.2

Factoriza $3 h$ de $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.3

Factoriza $3 h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.8.4

Factoriza $3 h$ de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Paso 7.1.8.5

Factoriza $3 h$ de $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Paso 7.2

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide $3 (h + 2 x + 1)$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Paso 7.4

Reordena $3 h$ y $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $6 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Paso 9

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$6 x + 0 + 3$

Paso 10.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$6 x + 3$

Paso 11

Simplifica $6 (1) + 3$ .

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Paso 11.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$m = 6 + 3$

Paso 11.2

Suma $6$ y $3$ .

$m = 9$

Paso 12

La pendiente es $m = 9$ y el punto es $(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Paso 13

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 13.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 13.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (9) \cdot x + b$

Paso 13.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Paso 13.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Paso 13.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 13.5.1

Reescribe la ecuación como $(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Paso 13.5.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + b = 6$

Paso 13.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.5.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 6 - 9$

Paso 13.5.3.2

Resta $9$ de $6$ .

$b = - 3$

Paso 14

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 9 x - 3$

Paso 15

Ingresa TU problema