Cálculo Ejemplos

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ ,

(1, 1)

$(1, 1)$

Paso 1

Supón

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Paso 2

Comprueba si la función es continua en el entorno de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores

(1, 1)

$(1, 1)$ en

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye

1

$1$ por

x

$x$ .

2 \cdot 1^{2} y^{2}

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

Paso 2.1.2

Sustituye

1

$1$ por

y

$y$ .

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

Paso 2.2

Como no hay ningún logaritmo con argumento negativo o cero, ningún radical par con radicando cero o negativo ni ninguna fracción con cero en el denominador, la función es continua en un intervalo abierto alrededor del valor

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Continuo

Paso 3

Obtén la derivada parcial con respecto a

y

$y$ .

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Paso 3.1

Establece la derivada parcial.

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

Paso 3.2

Como

2 x^{2}

$2 x^{2}$ es constante con respecto a

y

$y$ , la derivada de

2 x^{2} y^{2}

$2 x^{2} y^{2}$ con respecto a

y

$y$ es

2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

Paso 3.4

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

Paso 4

Comprueba si la derivada parcial con respecto a

y

$y$ es continua en el entorno de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Paso 4.1

Sustituye

1

$1$ por

y

$y$ .

4 x^{2} \cdot 1

$4 x^{2} \cdot 1$

Paso 4.2

y

$y$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Continuo

Paso 5

Tanto la función como su derivada parcial con respecto a

y

$y$ son continuas en un intervalo abierto alrededor del valor

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Una solución única

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