Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Paso 2.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Paso 2.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 6.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 6.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{2} e^{x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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