Cálculo Ejemplos

\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , donde

P (x) = - \frac{1}{x}

$P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

e^{\int - \frac{1}{x} d x}

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , mueve

- 1

$- 1$ fuera de la integral.

e^{- \int \frac{1}{x} d x}

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ con respecto a

x

$x$ es

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

e^{- (ln (| x |) + C)}

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

e^{- ln (x)}

$e^{- \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

e^{ln (x^{- 1})}

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

x^{- 1}

$x^{- 1}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ y

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.3

Combina

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ y

y

$y$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.4

Multiplica

- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Paso 2.2.4.1

Multiplica

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ por

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.4.2

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.4.3

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.4.4

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.2.4.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

Paso 2.4

Combina

$2$ y

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Paso 2.5

Cancela el factor común de

$x$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

Paso 7

Resuelve

$y$

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Paso 7.1

Combina

$\frac{1}{x}$ y

$y$ .

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados por

$x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de

$x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

Paso 7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (2 x + C) x$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica

$(2 x + C) x$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x \cdot x + C x$

Paso 7.3.2.1.2

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.1.2.1

Mueve

$x$ .

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

Paso 7.3.2.1.2.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$y = 2 x^{2} + C x$

Paso 7.3.2.1.3

Reordena

$2 x^{2}$ y

$C x$ .

$y = C x + 2 x^{2}$

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