Cálculo Ejemplos
x⋅dydx=y+√xy
Paso 1
Paso 1.1
Divide cada término en x⋅dydx=y+√xy por x y simplifica.
Paso 1.1.1
Divide cada término en x⋅dydx=y+√xy por x.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Paso 1.1.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 1.1.2.1
Cancela el factor común de x.
Paso 1.1.2.1.1
Cancela el factor común.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Paso 1.1.2.1.2
Divide dydx por 1.
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
Paso 1.2
Supón √x2=x.
dydx=yx+√xy√x2
Paso 1.3
Combina √xy y √x2 en un solo radical.
dydx=yx+√xyx2
Paso 1.4
Reduce la expresión xyx2 mediante la cancelación de los factores comunes.
Paso 1.4.1
Factoriza x de xy.
dydx=yx+√x(y)x2
Paso 1.4.2
Factoriza x de x2.
dydx=yx+√x(y)x⋅x
Paso 1.4.3
Cancela el factor común.
dydx=yx+√xyx⋅x
Paso 1.4.4
Reescribe la expresión.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
Paso 2
Sea V=yx. Sustituye V por yx.
dydx=V+√V
Paso 3
Resuelve V=yx en y.
y=Vx
Paso 4
Usa la regla del producto para obtener la derivada de y=Vx con respecto a x.
dydx=xdVdx+V
Paso 5
Sustituye xdVdx+V por dydx.
xdVdx+V=V+√V
Paso 6
Paso 6.1
Separa las variables.
Paso 6.1.1
Resuelve dVdx
Paso 6.1.1.1
Mueve todos los términos que no contengan dVdx al lado derecho de la ecuación.
Paso 6.1.1.1.1
Resta V de ambos lados de la ecuación.
xdVdx=V+√V-V
Paso 6.1.1.1.2
Combina los términos opuestos en V+√V-V.
Paso 6.1.1.1.2.1
Resta V de V.
xdVdx=0+√V
Paso 6.1.1.1.2.2
Suma 0 y √V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
Paso 6.1.1.2
Divide cada término en xdVdx=√V por x y simplifica.
Paso 6.1.1.2.1
Divide cada término en xdVdx=√V por x.
xdVdxx=√Vx
Paso 6.1.1.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 6.1.1.2.2.1
Cancela el factor común de x.
Paso 6.1.1.2.2.1.1
Cancela el factor común.
xdVdxx=√Vx
Paso 6.1.1.2.2.1.2
Divide dVdx por 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
Paso 6.1.2
Multiplica ambos lados por 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Paso 6.1.3
Cancela el factor común de √V.
Paso 6.1.3.1
Cancela el factor común.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Paso 6.1.3.2
Reescribe la expresión.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
Paso 6.1.4
Reescribe la ecuación.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
Paso 6.2
Integra ambos lados.
Paso 6.2.1
Establece una integral en cada lado.
∫1√VdV=∫1xdx
Paso 6.2.2
Integra el lado izquierdo.
Paso 6.2.2.1
Aplica reglas básicas de exponentes.
Paso 6.2.2.1.1
Usa n√ax=axn para reescribir √V como V12.
∫1V12dV=∫1xdx
Paso 6.2.2.1.2
Mueve V12 fuera del denominador mediante su elevación a la potencia -1.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
Paso 6.2.2.1.3
Multiplica los exponentes en (V12)-1.
Paso 6.2.2.1.3.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
Paso 6.2.2.1.3.2
Combina 12 y -1.
∫V-12dV=∫1xdx
Paso 6.2.2.1.3.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
Paso 6.2.2.2
Según la regla de la potencia, la integral de V-12 con respecto a V es 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
Paso 6.2.3
La integral de 1x con respecto a x es ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Paso 6.2.4
Agrupa la constante de integración en el lado derecho como C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Paso 6.3
Resuelve V
Paso 6.3.1
Divide cada término en 2V12=ln(|x|)+C por 2 y simplifica.
Paso 6.3.1.1
Divide cada término en 2V12=ln(|x|)+C por 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Paso 6.3.1.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 6.3.1.2.1
Cancela el factor común.
2V122=ln(|x|)2+C2
Paso 6.3.1.2.2
Divide V12 por 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Paso 6.3.1.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 6.3.1.3.1
Simplifica cada término.
Paso 6.3.1.3.1.1
Reescribe ln(|x|)2 como 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Paso 6.3.1.3.1.2
Simplifica 12ln(|x|) al mover 12 dentro del algoritmo.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Paso 6.3.2
Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de 2 para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Paso 6.3.3
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 6.3.3.1
Simplifica (V12)2.
Paso 6.3.3.1.1
Multiplica los exponentes en (V12)2.
Paso 6.3.3.1.1.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Paso 6.3.3.1.1.2
Cancela el factor común de 2.
Paso 6.3.3.1.1.2.1
Cancela el factor común.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Paso 6.3.3.1.1.2.2
Reescribe la expresión.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Paso 6.3.3.1.2
Simplifica.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Paso 6.4
Simplifica la constante de integración.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Paso 7
Sustituye yx por V.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Paso 8
Paso 8.1
Multiplica ambos lados por x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Paso 8.2
Simplifica.
Paso 8.2.1
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 8.2.1.1
Cancela el factor común de x.
Paso 8.2.1.1.1
Cancela el factor común.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Paso 8.2.1.1.2
Reescribe la expresión.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Paso 8.2.2
Simplifica el lado derecho.
Paso 8.2.2.1
Reordena los factores en (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2