Cálculo Ejemplos

(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

Paso 1

Obtén

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ donde

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia

M

$M$ con respecto a

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

3 x^{2} y + y^{2}

$3 x^{2} y + y^{2}$ con respecto a

y

$y$ es

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

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Paso 1.3.1

Como

3 x^{2}

$3 x^{2}$ es constante con respecto a

y

$y$ , la derivada de

3 x^{2} y

$3 x^{2} y$ con respecto a

y

$y$ es

3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

$n y^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

$n y^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

Paso 2

Obtén

$\frac{\partial N}{\partial x}$ donde

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ .

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Paso 2.1

Diferencia

$N$ con respecto a

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de

$x^{3} + 2 x y + 3$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Evalúa

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como

$2 y$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$2 x y$ con respecto a

$x$ es

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.3

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como

$3$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$3$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

Paso 2.4.2

Suma

$3 x^{2} + 2 y$ y

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Paso 3

Comprueba que

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye

$3 x^{2} + 2 y$ por

$\frac{\partial M}{\partial y}$ y

$3 x^{2} + 2 y$ para

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece

$f (x, y)$ igual a la integral de

$M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

Paso 5

Integra

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ para obtener

$f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

Paso 5.2

Dado que

$3 y$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$3 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de

$x^{2}$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

Paso 5.5

Combina

$\frac{1}{3}$ y

$x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

Paso 6

Como la integral de

$g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar

$C$ con

$g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

Paso 7

Establece

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8

Obtén

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia

$f$ con respecto a

$y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ con respecto a

$y$ es

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.3

Evalúa

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Como

$x^{3}$ es constante con respecto a

$y$ , la derivada de

$y x^{3}$ con respecto a

$y$ es

$x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

$n y^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.3.3

Multiplica

$x^{3}$ por

$1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.4

Evalúa

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Paso 8.4.1

Como

$x$ es constante con respecto a

$y$ , la derivada de

$y^{2} x$ con respecto a

$y$ es

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

$n y^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.4.3

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de

$g (y)$ es

$\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

Paso 9

Resuelve

$\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan

$\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta

$x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

Paso 9.1.2

Resta

$2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta

$x^{3}$ de

$x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

Paso 9.1.3.2

Suma

$2 x y + 3$ y

$0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

Paso 9.1.3.3

Resta

$2 x y$ de

$2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Paso 9.1.3.4

Suma

$0$ y

$3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Paso 10

Obtén la antiderivada de

$3$ y obtén

$g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de

$\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Paso 10.2

Evalúa

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = 3 y + C$

Paso 11

Sustituye por

$g (y)$ en

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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