Cálculo Ejemplos

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

Paso 1

Verifica que la solución dada satisfaga la ecuación diferencial.

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Paso 1.1

Obtén

y'

$y'$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Paso 1.1.2

La derivada de

y

$y$ con respecto a

x

$x$ es

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Paso 1.1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Como

c

$c$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ con respecto a

x

$x$ es

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ y

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

2 x

$2 x$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

2 x

$2 x$ .

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.3.1

Como

2

$2$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

2 x

$2 x$ con respecto a

x

$x$ es

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.3.1

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.3.2

Mueve

2

$2$ a la izquierda de

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ .

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Paso 1.1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.1.3.4.1

Reordena los factores de

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ .

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores en

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ .

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

Paso 1.1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

Paso 1.2

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Paso 1.4

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ es una solución para

y' = 2 y

$y' = 2 y$

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ es una solución para

y' = 2 y

$y' = 2 y$

Paso 2

Sustituye en la condición inicial.

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Paso 3

Resuelve

c

$c$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Paso 3.2

Simplifica

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica

2

$2$ por

0

$0$ .

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a

0

$0$ es

1

$1$ .

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

Paso 3.2.3

Multiplica

c

$c$ por

1

$1$ .

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

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