Cálculo Ejemplos

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Verifica que la solución dada satisfaga la ecuación diferencial.

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Paso 1.1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Paso 1.1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Paso 1.1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.1.3.4.1

Reordena los factores de $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Paso 1.1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Paso 1.2

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Paso 1.4

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = c e^{2 x}$ es una solución para $y' = 2 y$

Paso 2

Sustituye en la condición inicial.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Paso 3

Resuelve $c$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Paso 3.2

Simplifica $c e^{2 \cdot 0}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$c e^{0} = 3$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Paso 3.2.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$c = 3$

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