Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $4 y - 3$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 4 y - 3$ . Entonces $d u = 4 d y$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 4 y - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $- 4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Paso 3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Paso 3.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Paso 3.7.3

Simplifica.

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Paso 3.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Paso 3.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Paso 3.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Paso 3.7.4

Resuelve $y$

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Paso 3.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Paso 3.7.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Paso 3.7.4.3

Divide cada término en $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.7.4.3.1

Divide cada término en $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.7.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.7.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.7.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Paso 6.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Paso 6.3.4

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.4

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$C = 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $C$ en $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 7.2

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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