Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $1 - y^{2}$ por $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Paso 1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.6

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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