Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Paso 1

Define $f (t, y)$ cuando $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Paso 2

Obtén $f (0, 1)$ .

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Paso 2.1

Sustituye $0$ por $t$ y $1$ para $y$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Paso 2.2.2

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Paso 3

Usa la fórmula recursiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ para obtener $y_{1}$ .

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Paso 3.1

Sustituye.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $0.5$ por $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Paso 4

Usa la fórmula recursiva $t_{1} = t_{0} + h$ para obtener $t_{1}$ .

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Paso 4.1

Sustituye.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Paso 4.2

Suma $0$ y $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Paso 5

Obtén $f (0.5, 1.5)$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0.5$ por $t$ y $1.5$ para $y$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Paso 5.2.2

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Paso 6

Usa la fórmula recursiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ para obtener $y_{2}$ .

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Paso 6.1

Sustituye.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $0.5$ por $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Paso 6.2.2

Suma $1.5$ y $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Paso 7

Usa la fórmula recursiva $t_{2} = t_{1} + h$ para obtener $t_{2}$ .

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Paso 7.1

Sustituye.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Paso 7.2

Suma $0.5$ y $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Paso 8

Continúa de la misma manera hasta que los valores deseados sean aproximados.

Paso 9

Enumera las aproximaciones en una tabla.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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