Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Paso 1

Define $f (t, y)$ cuando $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Paso 2

Obtén $f (0, 1)$ .

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Paso 2.1

Sustituye $0$ por $t$ y $1$ para $y$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

Paso 2.2

Evalúa $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Paso 3

Usa la fórmula recursiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ para obtener $y_{1}$ .

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Paso 3.1

Sustituye.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $0.05$ por $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$y_{1} = 1$

Paso 4

Usa la fórmula recursiva $t_{1} = t_{0} + h$ para obtener $t_{1}$ .

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Paso 4.1

Sustituye.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Paso 4.2

Suma $0$ y $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Paso 5

Obtén $f (0.05, 1)$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0.05$ por $t$ y $1$ para $y$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Paso 5.2

Evalúa $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Paso 6

Usa la fórmula recursiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ para obtener $y_{2}$ .

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Paso 6.1

Sustituye.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $0.05$ por $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Paso 7

Usa la fórmula recursiva $t_{2} = t_{1} + h$ para obtener $t_{2}$ .

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Paso 7.1

Sustituye.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Paso 7.2

Suma $0.05$ y $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Paso 8

Continúa de la misma manera hasta que los valores deseados sean aproximados.

Paso 9

Enumera las aproximaciones en una tabla.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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