Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.3

Reordena $2 h x$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{2} + 2 h x + 2 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h + 2 x + 2$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Paso 4.2.2

Reordena $h$ y $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 x + 0 + 2$

Paso 7

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x + 2$

Paso 8

Ingresa TU problema