Cálculo Ejemplos

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en

x = x + h

$x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

x + h

$x + h$ en la expresión.

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ como

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Expande

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica

h

$h$ por

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma

x h

$x h$ y

h x

$h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena

x

$x$ y

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma

h x

$h x$ y

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve

2 x

$2 x$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.2

Mueve

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.3

Reordena

2 h x

$2 h x$ y

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Paso 3

Inserta los componentes.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Paso 4.1.3

Resta

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma

h^{2}

$h^{2}$ y

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Paso 4.1.5

Resta

2 x

$2 x$ de

2 x

$2 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma

h^{2} + 2 h x + 2 h

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ y

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza

h

$h$ de

h^{2} + 2 h x + 2 h

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza

h

$h$ de

h^{2}

$h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza

h

$h$ de

2 h x

$2 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza

h

$h$ de

2 h

$2 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza

h

$h$ de

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza

h

$h$ de

h (h + 2 x) + h \cdot 2

$h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de

h

$h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide

$h + 2 x + 2$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Paso 4.2.2

Reordena

$h$ y

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$h$ se aproxima a

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Paso 5.2

Evalúa el límite de

$2 x$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Paso 5.3

Evalúa el límite de

$2$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Paso 6

Evalúa el límite de

$h$ mediante el ingreso de

$0$ para

$h$ .

$2 x + 0 + 2$

Paso 7

Suma

$2 x$ y

$0$ .

$2 x + 2$

Paso 8

Ingresa TU problema