Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x + 2$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en

$x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 6 (x + h) + 2$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 6 x + 6 h + 2$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es

$6 x + 6 h + 2$ .

$6 x + 6 h + 2$

Paso 2.2

Reordena

$6 x$ y

$6 h$ .

$6 h + 6 x + 2$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza

$2$ de

$6 x + 2$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza

$2$ de

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza

$2$ de

$2 (3 x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza

$2$ de

$6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza

$2$ de

$6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza

$2$ de

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}$

Paso 4.1.3.4

Factoriza

$2$ de

$- 2 (3 x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza

$2$ de

$2 (3 h) + 2 (3 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Paso 4.1.3.6

Factoriza

$2$ de

$2 (3 h + 3 x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Paso 4.1.3.7

Factoriza

$2$ de

$2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}$

Paso 4.1.5

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}$

Paso 4.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}$

Paso 4.1.7

Resta

$3 x$ de

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}$

Paso 4.1.8

Suma

$3 h$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}$

Paso 4.1.9

Resta

$1$ de

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.10

Suma

$3 h$ y

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 h)}{h}$

Paso 4.1.11

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de

$h$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Paso 4.2.2

Divide

$6$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6$

Paso 5

Evalúa el límite de

$6$ que es constante cuando

$h$ se acerca a

$0$ .

$6$

Paso 6

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