Cálculo Ejemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Paso 2

Expande el lado derecho.

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Paso 2.1

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Paso 2.2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Paso 2.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Paso 3.2.4

Combina fracciones.

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Paso 3.2.4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Paso 3.2.4.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Paso 3.2.5

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Combina $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ y $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{\ln (x)}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Paso 5.2.2.5

Divide $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Paso 5.3

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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