Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Sea

$y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Paso 2

Expande el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2

Expande

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ ; para ello, mueve

$x^{\frac{1}{2}}$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que

$y$ es una función de

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo

$\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.3

La derivada de

$\ln (x)$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Combina

$x^{\frac{1}{2}}$ y

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4.2

Mueve

$x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5

Multiplica

$x$ por

$x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Multiplica

$x$ por

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1.1

Eleva

$x$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.2

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.4

Resta

$1$ de

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.2.7

Para escribir

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.2.8

Combina

$- 1$ y

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.10.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.2.10.2

Resta

$2$ de

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.2.12

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.2.13

Combina

$\ln (x)$ y

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.2.14

Mueve

$x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Aísla

$y'$ y sustituye la función original de

$y$ en el lado derecho.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Paso 5.2

Combina

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Paso 5.3

Combina

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Factoriza

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Multiplica por

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.4

Divide

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ por

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.3

Factoriza

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Factoriza

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 5.4.4.2

Cancela el factor común.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 5.4.4.3

Reescribe la expresión.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Para escribir

$\sqrt{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.2

Combina

$\sqrt{x}$ y

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.4

Mueve

$2$ a la izquierda de

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.5

Para escribir

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.6

Combina

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ y

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.3

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.4.1

Para escribir

$x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.2

Combina

$x^{\frac{1}{2}}$ y

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.4

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.5

Factoriza

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.5.1

Reordena

$\ln (x)$ y

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Paso 5.8.5.2

Factoriza

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Paso 5.8.5.3

Factoriza

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Paso 5.8.5.4

Factoriza

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Ingresa TU problema