Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})$

Paso 2

La derivada de

$y$ con respecto a

$x$ es

$y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de

$x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = x^{2}$ y

$g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{3}$ y

$g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{1}$ como

$y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es

$n {u_{1}}^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{1}$ con

$y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.3

Reescribe

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.5

Mueve

$3$ a la izquierda de

$x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.2.6

Mueve

$2$ a la izquierda de

$y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = x^{3}$ y

$g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{2}$ y

$g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{2}$ como

$y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es

$n {u_{2}}^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{2}$ con

$y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.3

Reescribe

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})$

Paso 3.3.5

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Paso 3.3.6

Mueve

$3$ a la izquierda de

$y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5

Resuelve

$y'$

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Paso 5.1

Como

$y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y'$

Paso 5.2

Resta

$y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan

$y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta

$2 y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = - 2 y^{3} x$

Paso 5.3.2

Resta

$3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4

Factoriza

$y'$ de

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza

$y'$ de

$3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza

$y'$ de

$2 x^{3} y y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4.3

Factoriza

$y'$ de

$- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza

$y'$ de

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4.5

Factoriza

$y'$ de

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ por

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ por

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza

$y^{2} x$ de

$- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza

$y^{2} x$ de

$- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.2.2

Factoriza

$y^{2} x$ de

$- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.2.3

Factoriza

$y^{2} x$ de

$y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza

$- 1$ de

$- 2 y$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza

$- 1$ de

$- 3 x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - (3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.5

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 y) - (3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.3.6.1

Reescribe

$- (2 y + 3 x)$ como

$- 1 (2 y + 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 1 (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 5.5.3.6.3

Reordena los factores en

$- \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$ .

$y' = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

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