Cálculo Ejemplos

x^{3} + y^{3} = 3 x y

$x^{3} + y^{3} = 3 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{3} + y^{3}

$x^{3} + y^{3}$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$ y

g (x) = y

$g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

y

$y$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ donde

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

y

$y$ .

3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como

3

$3$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

3 x y

$3 x y$ con respecto a

x

$x$ es

3 \frac{d}{d x} [x y]

$3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

3 \frac{d}{d x} [x y]

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

f (x) = x

$f (x) = x$ y

g (x) = y

$g (x) = y$ .

3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

3 (x y' + y \cdot 1)

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica

y

$y$ por

1

$1$ .

3 (x y' + y)

$3 (x y' + y)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

3 x y' + 3 y

$3 x y' + 3 y$

3 x y' + 3 y

$3 x y' + 3 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y$

Paso 5

Resuelve

y'

$y'$

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Paso 5.1

Resta

3 x y'

$3 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y$

Paso 5.2

Resta

3 x^{2}

$3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}

$3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza

3 y'

$3 y'$ de

3 y^{2} y' - 3 x y'

$3 y^{2} y' - 3 x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza

3 y'

$3 y'$ de

3 y^{2} y'

$3 y^{2} y'$ .

3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza

3 y'

$3 y'$ de

- 3 x y'

$- 3 x y'$ .

3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza

3 y'

$3 y'$ de

3 y' y^{2} + 3 y' (- x)

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x)$ .

3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en

3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ por

3 (y^{2} - x)

$3 (y^{2} - x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en

3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ por

3 (y^{2} - x)

$3 (y^{2} - x)$ .

\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de

$y^{2} - x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de

$- 3$ y

$3$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza

$3$ de

$- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - x}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - x}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

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