Cálculo Ejemplos

$y = x + 4 x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + 4 (2 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$1 + 8 x$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$8 x + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 8 x + 1$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{8}$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Paso 7.3

Simplifica $(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Paso 7.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Paso 7.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Paso 7.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Paso 7.3.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Paso 7.3.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.1.6.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Paso 7.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Paso 7.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Paso 7.3.2

Para escribir $- \frac{1}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Paso 7.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Paso 7.3.3.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Paso 7.3.5

Suma $- 2$ y $1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Paso 7.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{16}$

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Paso 9

Ingresa TU problema