Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 5 x - 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x - 7)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 5 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $2 x + 5$ y $0$ .

$2 x + 5$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x + 5$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 6.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 7

Simplifica ${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$ .

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.6

Multiplica $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 7.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Paso 7.1.6.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Paso 7.1.6.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Paso 7.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Paso 7.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Paso 7.2.3

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Paso 7.2.4

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Paso 7.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$y = \frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$y = \frac{25 - 50 - 28}{4}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$y = \frac{- 25 - 28}{4}$

Paso 7.5.2

Resta $28$ de $- 25$ .

$y = \frac{- 53}{4}$

Paso 7.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{53}{4}$

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Paso 9

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