Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} - 8 x$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Expande $(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ .

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Paso 5.3.2.1

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Suma $3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

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