Cálculo Ejemplos

\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde

f (x) = x^{3} - 8 x

$f (x) = x^{3} - 8 x$ y

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ .

\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{3} - 8 x

$x^{3} - 8 x$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 3

$n = 3$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa

\frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 3.1

Como

- 8

$- 8$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 8 x

$- 8 x$ con respecto a

x

$x$ es

- 8 \frac{d}{d x} [x]

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica

- 8

$- 8$ por

1

$1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x - 1

$x - 1$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 1

$- 1$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Expande

(x - 1) (3 x^{2} - 8)

$(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica

x

$x$ por

x^{2}

$x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.2.1

Mueve

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.2

Multiplica

x^{2}

$x^{2}$ por

x

$x$ .

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Paso 5.3.1.2.2.2.1

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2.3

Suma

2

$2$ y

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Mueve

- 8

$- 8$ a la izquierda de

x

$x$ .

\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.4

Multiplica

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 8

$- 8$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica

- 8

$- 8$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica

8

$8$ por

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Combina los términos opuestos en

3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x

$3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ .

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Paso 5.3.2.1

Suma

- 8 x

$- 8 x$ y

8 x

$8 x$ .

\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Suma

3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ y

0

$0$ .

\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Resta

$x^{3}$ de

$3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

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