Cálculo Ejemplos

$L (x) = x^{4}$

Paso 1

Usa la fórmula del índice de Gini $G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ .

Paso 2

Sustituye $x^{4}$ por $L (x)$ .

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{4} d x$

Paso 3

Evalúa $2 \int_{0}^{1} x - x^{4} d x$ .

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Paso 3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Paso 3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Paso 3.6.2.2

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $1$ y en $0$ .

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.6.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.6.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.5

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 3.6.2.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Paso 3.6.2.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 3.6.2.3.8.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Paso 3.6.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.3.8.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Paso 3.6.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Paso 3.6.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Paso 3.6.2.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} - 0))$

Paso 3.6.2.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{5} + 0))$

Paso 3.6.2.3.10

Suma $\frac{1}{5}$ y $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{5})$

Paso 3.6.2.3.11

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 3.6.2.3.12

Para escribir $- \frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.6.2.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.6.2.3.13.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$G = 2 (\frac{5}{2 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.6.2.3.13.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$G = 2 (\frac{5}{10} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.6.2.3.13.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{5}{10} - \frac{2}{5 \cdot 2})$

Paso 3.6.2.3.13.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$G = 2 (\frac{5}{10} - \frac{2}{10})$

Paso 3.6.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$G = 2 \frac{5 - 2}{10}$

Paso 3.6.2.3.15

Resta $2$ de $5$ .

$G = 2 (\frac{3}{10})$

Paso 3.6.2.3.16

Combina $2$ y $\frac{3}{10}$ .

$G = \frac{2 \cdot 3}{10}$

Paso 3.6.2.3.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$G = \frac{6}{10}$

Paso 3.6.2.3.18

Cancela el factor común de $6$ y $10$ .

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Paso 3.6.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$G = \frac{2 (3)}{10}$

Paso 3.6.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$G = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Paso 3.6.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$G = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Paso 3.6.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$G = \frac{3}{5}$

Paso 4

Convierte a decimal.

$G = 0.6$

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