Cálculo Ejemplos

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

Paso 1

Obtén el punto de equilibrio.

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Paso 1.1

Obtén la cantidad de equilibrio.

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Paso 1.1.1

Obtén el punto de equilibrio al establecer la función de suministro igual a la función de demanda.

$300 - 5 q = q^{2}$

Paso 1.1.2

Resuelve $300 - 5 q = q^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Resta $q^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $300 - 5 q - q^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 1.1.2.2.1.1.1

Mueve $300$ .

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.1.2

Reordena $- 5 q$ y $- q^{2}$ .

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- q^{2}$ .

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 q$ .

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.4

Reescribe $300$ como $- 1 (- 300)$ .

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (q^{2}) - (5 q)$ .

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Paso 1.1.2.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ .

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Paso 1.1.2.2.2

Factoriza.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $q^{2} + 5 q - 300$ con el método AC.

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Paso 1.1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 300$ y cuya suma es $5$ .

$- 15, 20$

Paso 1.1.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Paso 1.1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Paso 1.1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

Paso 1.1.2.4

Establece $q - 15$ igual a $0$ y resuelve $q$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Establece $q - 15$ igual a $0$ .

$q - 15 = 0$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$q = 15$

Paso 1.1.2.5

Establece $q + 20$ igual a $0$ y resuelve $q$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Establece $q + 20$ igual a $0$ .

$q + 20 = 0$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$q = - 20$

Paso 1.1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (q - 15) (q + 20) = 0$ verdadera.

$q = 15, - 20$

Paso 1.1.3

Ignora la solución negativa.

$q = 15$

Paso 1.2

Obtén el precio de equilibrio.

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Paso 1.2.1

Obtén el precio de equilibrio al sustituir la cantidad de equilibrio $15$ por $q$ en $d (q) = 300 - 5 q$ .

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Paso 1.2.2

Simplifica $d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $- 5$ por $15$ .

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Paso 1.2.2.2

Resta $75$ de $300$ .

$d \cdot 15 = 225$

Paso 1.3

Escribe el punto de equilibrio.

$(15, 225)$

Paso 2

Establece el excedente del consumir $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ donde $q_{eq}$ es la cantidad de equilibrio y $p_{eq}$ es el precio del equilibrio.

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Paso 3

Evalúa la integral y simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 15$ por $225$ .

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Paso 3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Paso 3.4

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $q$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $q$ con respecto a $q$ es $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $300 q$ en $15$ y en $0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Paso 3.6.2.2

Evalúa $\frac{q^{2}}{2}$ en $15$ y en $0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.6.2.3.1

Multiplica $300$ por $15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.2

Multiplica $- 300$ por $0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.3

Suma $4500$ y $0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.4

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.6.2.3.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Paso 3.6.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Paso 3.6.2.3.8

Suma $\frac{225}{2}$ y $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Paso 3.6.2.3.9

Combina $- 5$ y $\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.10

Multiplica $- 5$ por $225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.12

Para escribir $4500$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.13

Combina $4500$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.3.15.1

Multiplica $4500$ por $2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.15.2

Resta $1125$ de $9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Paso 3.6.2.3.16

Para escribir $- 3375$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.6.2.3.17

Combina $- 3375$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Paso 3.6.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Paso 3.6.2.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.3.19.1

Multiplica $- 3375$ por $2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Paso 3.6.2.3.19.2

Resta $6750$ de $7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Paso 3.7

Divide $1125$ por $2$ .

$562.5$

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