Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 2 x$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ como $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ .

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

Paso 2.1.2

Expande $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.1.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

Paso 2.1.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

Paso 2.1.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

Paso 2.1.3.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

Paso 2.1.3.2

Resta $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Paso 2.2

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Paso 10

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $3$ y en $0$ .

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Paso 12.2.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $3$ y en $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Paso 12.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $3$ y en $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4

Simplifica.

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Paso 12.2.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.3.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.3.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.5

Suma $\frac{243}{5}$ y $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.6

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.8

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 12.2.4.8.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.10

Suma $\frac{81}{4}$ y $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.11

Combina $4$ y $\frac{81}{4}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.12

Multiplica $4$ por $81$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.13

Cancela el factor común de $324$ y $4$ .

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Paso 12.2.4.13.1

Factoriza $4$ de $324$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.4.13.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.13.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.13.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.13.2.4

Divide $81$ por $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.14

Para escribir $81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.15

Combina $81$ y $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.17

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.4.17.1

Multiplica $81$ por $5$ .

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.17.2

Suma $- 243$ y $405$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.18

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.19

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.19.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.19.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.19.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.19.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.19.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 12.2.4.20

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

Paso 12.2.4.21

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.21.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 12.2.4.21.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.21.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 12.2.4.21.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 12.2.4.21.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

Paso 12.2.4.21.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

Paso 12.2.4.22

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

Paso 12.2.4.23

Suma $9$ y $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

Paso 12.2.4.24

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

Paso 12.2.4.25

Para escribir $- 27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

Paso 12.2.4.26

Combina $- 27$ y $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

Paso 12.2.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

Paso 12.2.4.28

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.28.1

Multiplica $- 27$ por $5$ .

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

Paso 12.2.4.28.2

Resta $135$ de $162$ .

$V = π (\frac{27}{5})$

Paso 12.2.4.29

Combina $π$ y $\frac{27}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

Paso 12.2.4.30

Mueve $27$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{27 π}{5}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{27 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 16.96460032 \dots$

Paso 14

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