Cálculo Ejemplos

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función $f$ en un intervalo especificado $[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

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Paso 3.1

Sea $u = 5 x + 5$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1.1

Deja $u = 5 x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Diferencia $5 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Paso 3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 3.1.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 3.1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 5 + 5$

Paso 3.1.3.2

Suma $- 5$ y $5$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5 + 5$

Paso 3.1.5.2

Suma $5$ y $5$ .

$u_{upper} = 10$

Paso 3.1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Paso 3.1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

Paso 3.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

Paso 3.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

Paso 3.5

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $10$ y en $0$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 3.5.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 3.5.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $1000$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 3.5.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Paso 3.5.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

Paso 3.5.2.6

Suma $\frac{1000}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

Paso 3.5.2.7

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1000}{3}$ .

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.8

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{1000}{15}$

Paso 3.5.2.9

Cancela el factor común de $1000$ y $15$ .

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Paso 3.5.2.9.1

Factoriza $5$ de $1000$ .

$\frac{5 (200)}{15}$

Paso 3.5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.9.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{200}{3}$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{1 + 1}$ por $\frac{200}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión $\frac{200}{2 \cdot 3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $200$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

Paso 4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{100}{3}}$ como $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

Paso 6

Ingresa TU problema