Cálculo Ejemplos

y = x - 2

$y = x - 2$ ,

(2, 7)

$(2, 7)$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función

f

$f$ en un intervalo especificado

[a, b]

$[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

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Paso 3.1

Sea

u = x - 2

$u = x - 2$ . Entonces

d u = d x

$d u = d x$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

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Paso 3.1.1

Deja

u = x - 2

$u = x - 2$ . Obtén

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Diferencia

x - 2

$x - 2$ .

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

x - 2

$x - 2$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.4

Como

- 2

$- 2$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 2

$- 2$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Paso 3.1.1.5

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 3.1.2

Sustituye el límite inferior por

x

$x$ en

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{lower} = 2 - 2

$u_{lower} = 2 - 2$

Paso 3.1.3

Resta

2

$2$ de

2

$2$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Paso 3.1.4

Sustituye el límite superior por

x

$x$ en

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{upper} = 7 - 2

$u_{upper} = 7 - 2$

Paso 3.1.5

Resta

2

$2$ de

7

$7$ .

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Paso 3.1.6

Los valores obtenidos para

u_{lower}

$u_{lower}$ y

u_{upper}

$u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Paso 3.1.7

Reescribe el problema mediante

u

$u$ ,

d u

$d u$ y los nuevos límites de integración.

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de

u^{2}

$u^{2}$ con respecto a

u

$u$ es

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

Paso 3.3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.3.1

Evalúa

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ en

5

$5$ y en

0

$0$ .

(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Eleva

5

$5$ a la potencia de

3

$3$ .

\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Combina

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ y

125

$125$ .

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Paso 3.3.2.5

Multiplica

0

$0$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{125}{3} + 0

$\frac{125}{3} + 0$

Paso 3.3.2.6

Suma

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ y

0

$0$ .

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

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Paso 4.1

Multiplica

\frac{1}{7 - 2}

$\frac{1}{7 - 2}$ por

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

Paso 4.2

Resta

2

$2$ de

7

$7$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión

\frac{125}{5 \cdot 3}

$\frac{125}{5 \cdot 3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza

5

$5$ de

125

$125$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2

Factoriza

5

$5$ de

5 \cdot 3

$5 \cdot 3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Paso 4.4

Reescribe

\sqrt{\frac{25}{3}}

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ como

\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Reescribe

25

$25$ como

5^{2}

$5^{2}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Paso 4.6

Multiplica

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ por

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ por

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ a la potencia de

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.3

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ a la potencia de

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.4

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.7.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.7.6

Reescribe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

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Paso 4.7.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.7.6.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}