Cálculo Ejemplos

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función $f$ en un intervalo especificado $[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

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Paso 3.1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Paso 3.1.3

Resta $2$ de $2$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Paso 3.1.5

Resta $2$ de $7$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 3.1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Paso 3.1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

Paso 3.3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.3.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $5$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + 0$

Paso 3.3.2.6

Suma $\frac{125}{3}$ y $0$ .

$\frac{125}{3}$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{7 - 2}$ por $\frac{125}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

Paso 4.2

Resta $2$ de $7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión $\frac{125}{5 \cdot 3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2

Factoriza $5$ de $5 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Paso 4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{25}{3}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

Paso 6

Ingresa TU problema