Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f' (x)$ es continua en $[0, 6]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $6$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Paso 11.2

Evalúa $2 x$ en $6$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 11.3.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.6

Suma $18$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.7

Multiplica $2$ por $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.8

Multiplica $2$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Paso 11.3.9

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Paso 11.3.10

Suma $12$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Paso 11.3.11

Suma $36$ y $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Paso 12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Paso 12.2

Suma $6$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Paso 13

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 13.1

Factoriza $6$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 8$

Paso 14

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