Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ .

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} - 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{5} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f' (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Paso 7

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Paso 10

Dado que $- 12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 12$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\frac{x^{6}}{6}$ en $2$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Paso 12.2.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3

Simplifica.

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Paso 12.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.2

Cancela el factor común de $64$ y $6$ .

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Paso 12.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $6$ .

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Paso 12.2.3.4.1

Factoriza $6$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.4.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.6

Suma $\frac{32}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.7

Combina $6$ y $\frac{32}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.8

Multiplica $6$ por $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.9

Cancela el factor común de $192$ y $3$ .

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Paso 12.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $192$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.9.2.4

Divide $64$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.10

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.11

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 12.2.3.11.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.11.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.11.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

Paso 12.2.3.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

Paso 12.2.3.13

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 12.2.3.13.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

Paso 12.2.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.13.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Paso 12.2.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Paso 12.2.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

Paso 12.2.3.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

Paso 12.2.3.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

Paso 12.2.3.15

Suma $4$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

Paso 12.2.3.16

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

Paso 12.2.3.17

Resta $48$ de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

Paso 13

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

Paso 13.2

Suma $2$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 8$

Paso 15

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