Cálculo Ejemplos
f(x)=4x-2f(x)=4x−2 , (-2,4)(−2,4)
Paso 1
Paso 1.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
(-∞,∞)(−∞,∞)
Notación del constructor de conjuntos:
{x|x∈ℝ}
Paso 1.2
f(x) es continua en [-2,4].
La función es continua.
La función es continua.
Paso 2
Paso 2.1
Obtén la derivada.
Paso 2.1.1
Obtén la primera derivada.
Paso 2.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de 4x-2 con respecto a x es ddx[4x]+ddx[-2].
ddx[4x]+ddx[-2]
Paso 2.1.1.2
Evalúa ddx[4x].
Paso 2.1.1.2.1
Como 4 es constante con respecto a x, la derivada de 4x con respecto a x es 4ddx[x].
4ddx[x]+ddx[-2]
Paso 2.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que ddx[xn] es nxn-1 donde n=1.
4⋅1+ddx[-2]
Paso 2.1.1.2.3
Multiplica 4 por 1.
4+ddx[-2]
4+ddx[-2]
Paso 2.1.1.3
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 2.1.1.3.1
Como -2 es constante con respecto a x, la derivada de -2 con respecto a x es 0.
4+0
Paso 2.1.1.3.2
Suma 4 y 0.
f′(x)=4
f′(x)=4
f′(x)=4
Paso 2.1.2
La primera derivada de f(x) con respecto a x es 4.
4
4
Paso 2.2
Obtén si la derivada es continua en [-2,4].
Paso 2.2.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
(-∞,∞)
Notación del constructor de conjuntos:
{x|x∈ℝ}
Paso 2.2.2
f′(x) es continua en [-2,4].
La función es continua.
La función es continua.
Paso 2.3
La función es diferenciable en [-2,4] porque la derivada es continua en [-2,4].
La función es diferenciable.
La función es diferenciable.
Paso 3
Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado [-2,4].
La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado [-2,4].
Paso 4
Paso 4.1
Según la regla de la suma, la derivada de 4x-2 con respecto a x es ddx[4x]+ddx[-2].
ddx[4x]+ddx[-2]
Paso 4.2
Evalúa ddx[4x].
Paso 4.2.1
Como 4 es constante con respecto a x, la derivada de 4x con respecto a x es 4ddx[x].
4ddx[x]+ddx[-2]
Paso 4.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que ddx[xn] es nxn-1 donde n=1.
4⋅1+ddx[-2]
Paso 4.2.3
Multiplica 4 por 1.
4+ddx[-2]
4+ddx[-2]
Paso 4.3
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 4.3.1
Como -2 es constante con respecto a x, la derivada de -2 con respecto a x es 0.
4+0
Paso 4.3.2
Suma 4 y 0.
4
4
4
Paso 5
Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula L=∫ba√1+(f′(x))2dx.
∫4-2√1+(4)2dx
Paso 6
Paso 6.1
Aplica la regla de la constante.
√17x]4-2
Paso 6.2
Sustituye y simplifica.
Paso 6.2.1
Evalúa √17x en 4 y en -2.
(√17⋅4)-√17⋅-2
Paso 6.2.2
Simplifica.
Paso 6.2.2.1
Mueve 4 a la izquierda de √17.
4⋅√17-√17⋅-2
Paso 6.2.2.2
Multiplica -2 por -1.
4√17+2√17
Paso 6.2.2.3
Suma 4√17 y 2√17.
6√17
6√17
6√17
6√17
Paso 7
El resultado puede mostrarse de distintas formas.
Forma exacta:
6√17
Forma decimal:
24.73863375…
Paso 8
