Cálculo Ejemplos

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Paso 1

Escribe $y = {(x + 3)}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Suma $1$ y $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Paso 2.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (1) = 16$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $16$ .

$16$

Paso 2.2

Como $16 = 16$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Reescribe ${(x + h + 3)}^{2}$ como $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Paso 5.1.2.2

Expande $(x + h + 3) (x + h + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Paso 5.1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Paso 5.1.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Paso 5.1.2.3.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Paso 5.1.2.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Paso 5.1.2.3.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Paso 5.1.2.4

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 5.1.2.4.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Paso 5.1.2.4.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Paso 5.1.2.5

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Paso 5.1.2.6

Suma $3 h$ y $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Paso 5.1.2.7

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Paso 5.2.2

Reordena $2 h x$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Paso 7.1.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Paso 7.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Paso 7.1.5

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Paso 7.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Paso 7.1.7

Resta $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Paso 7.1.8

Suma $h^{2} + 2 h x + 6 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Paso 7.1.9

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

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Paso 7.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Paso 7.1.9.2

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Paso 7.1.9.3

Factoriza $h$ de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Paso 7.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Paso 7.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide $h + 2 x + 6$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Paso 7.2.2

Reordena $h$ y $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Paso 9

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Paso 10

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x + 6$

Paso 11

Simplifica $2 (1) + 6$ .

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Paso 11.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$m = 2 + 6$

Paso 11.2

Suma $2$ y $6$ .

$m = 8$

Paso 12

La pendiente es $m = 8$ y el punto es $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Paso 13

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 13.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 13.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (8) \cdot x + b$

Paso 13.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Paso 13.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Paso 13.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 13.5.1

Reescribe la ecuación como $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Paso 13.5.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + b = 16$

Paso 13.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.5.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 16 - 8$

Paso 13.5.3.2

Resta $8$ de $16$ .

$b = 8$

Paso 14

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 8 x + 8$

Paso 15

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