Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{2} - 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $30 x - 10$ .

$30 x - 10$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $30 x - 10 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$30 x - 10 = 0$

Paso 2.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$30 x = 10$

Paso 2.3

Divide cada término en $30 x = 10$ por $30$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $30 x = 10$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{30}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $30$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $10$ de $10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{3}$ en $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.1.2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

Paso 3.1.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

Paso 3.1.2.1.8

Combina $- 5$ y $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

Paso 3.1.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

Paso 3.1.2.2

Para escribir $- \frac{5}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Paso 3.1.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

Paso 3.1.2.5.2

Resta $15$ de $5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Paso 3.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{3}$ en $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ es $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.2\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $30$ por $0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

Paso 5.2.2

Resta $10$ de $7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 5.3

En $0.2\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.4\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $30$ por $0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

Paso 6.2.2

Resta $10$ de $13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6.3

En $0.4\overline{3}$ , la segunda derivada es $3$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Paso 8

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