Cálculo Ejemplos

f (x) = x^{4} - 4 x^{2}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ ,

[- 3, 4]

$[- 3, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{4} - 4 x^{2}

$x^{4} - 4 x^{2}$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como

- 4

$- 4$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ con respecto a

x

$x$ es

- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

4 x^{3} - 4 (2 x)

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica

2

$2$ por

- 4

$- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de

$f (x)$ con respecto a

$x$ es

$4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a

$0$ , luego resuelve la ecuación

$4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a

$0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza

$4 x$ de

$4 x^{3} - 8 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza

$4 x$ de

$4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza

$4 x$ de

$- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza

$4 x$ de

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece

$x$ igual a

$0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece

$x^{2} - 2$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece

$x^{2} - 2$ igual a

$0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve

$x^{2} - 2 = 0$ en

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Suma

$2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 1.2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa

$x^{4} - 4 x^{2}$ en cada valor

$x$ donde la derivada sea

$0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en

$x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye

$0$ por

$x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica

$- 4$ por

$0$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma

$0$ y

$0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en

$x = \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye

$\sqrt{2}$ por

$x$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Reescribe

${\sqrt{2}}^{4}$ como

$2^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de

$4$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1.4.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divide

$2$ por

$1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.1.3.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.3.4

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Paso 1.4.2.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$4 - 8$

Paso 1.4.2.2.2

Resta

$8$ de

$4$ .

$- 4$

Paso 1.4.3

Evalúa en

$x = - \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Sustituye

$- \sqrt{2}$ por

$x$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a

$- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.3

Multiplica

${\sqrt{2}}^{4}$ por

$1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4

Reescribe

${\sqrt{2}}^{4}$ como

$2^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.4.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de

$4$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.4.4.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divide

$2$ por

$1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.5

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.6

Aplica la regla del producto a

$- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 1.4.3.2.1.7

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 1.4.3.2.1.8

Multiplica

${\sqrt{2}}^{2}$ por

$1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.9

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.9.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.4.3.2.1.9.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.3.2.1.9.4

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.3.2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Paso 1.4.3.2.1.9.5

Evalúa el exponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.3.2.1.10

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$4 - 8$

Paso 1.4.3.2.2

Resta

$8$ de

$4$ .

$- 4$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en

$x = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye

$- 3$ por

$x$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica

$- 4$ por

$9$ .

$81 - 36$

Paso 2.1.2.2

Resta

$36$ de

$81$ .

$45$

Paso 2.2

Evalúa en

$x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sustituye

$4$ por

$x$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Eleva

$4$ a la potencia de

$4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica

$- 4$ por

$16$ .

$256 - 64$

Paso 2.2.2.2

Resta

$64$ de

$256$ .

$192$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Paso 3

Compara los valores de

$f (x)$ encontrados para cada valor de

$x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de

$f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de

$f (x)$ .

Máximo absoluto:

$(4, 192)$

Mínimo absoluto:

$(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Paso 4

Ingresa TU problema