Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{2} + 6 x$ , $(- 3, 18)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 3$ y $y = 18$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$8 x + 6$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 3$ .

$8 (- 3) + 6$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$- 24 + 6$

Paso 1.5.2

Suma $- 24$ y $6$ .

$- 18$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 18$ y un punto dado $(- 3, 18)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 18 \cdot (x - (- 3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 18 \cdot (x + 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 18 = 0 + 0 - 18 \cdot (x + 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 18 = - 18 x - 18 \cdot 3$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$y - 18 = - 18 x - 54$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 18 x - 54 + 18$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 54$ y $18$ .

$y = - 18 x - 36$

Paso 3

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