Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{3} + 4 x + 5$ , $(2, 37)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 37$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$9 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 4 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $9 x^{2} + 4$ y $0$ .

$9 x^{2} + 4$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$9 {(2)}^{2} + 4$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$9 \cdot 4 + 4$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$36 + 4$

Paso 1.6.2

Suma $36$ y $4$ .

$40$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $40$ y un punto dado $(2, 37)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (37) = 40 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $40 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 37 = 0 + 0 + 40 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 37 = 40 x + 40 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $40$ por $- 2$ .

$y - 37 = 40 x - 80$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $37$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 40 x - 80 + 37$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 80$ y $37$ .

$y = 40 x - 43$

Paso 3

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