Cálculo Ejemplos

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(1, 7)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en

$x = 1$ y

$y = 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

$3 x^{3} + x + 3$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Evalúa

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como

$3$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$3 x^{3}$ con respecto a

$x$ es

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.3

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.2

Como

$3$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$3$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$9 x^{2} + 1 + 0$

Paso 1.3.3

Suma

$9 x^{2} + 1$ y

$0$ .

$9 x^{2} + 1$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en

$x = 1$ .

$9 {(1)}^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica

$9$ por

$1$ .

$9 + 1$

Paso 1.5.2

Suma

$9$ y

$1$ .

$10$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve

$y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente

$10$ y un punto dado

$(1, 7)$ para sustituir

$x_{1}$ y

$y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = 10 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 7 = 10 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve

$y$

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Paso 2.3.1

Simplifica

$10 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 7 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 7 = 10 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = 10 x + 10 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica

$10$ por

$- 1$ .

$y - 7 = 10 x - 10$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan

$y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma

$7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10 x - 10 + 7$

Paso 2.3.2.2

Suma

$- 10$ y

$7$ .

$y = 10 x - 3$

Paso 3

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