Cálculo Ejemplos

f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{4} - 12 x^{2} + 36

$x^{4} - 12 x^{2} + 36$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como

- 12

$- 12$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 12 x^{2}

$- 12 x^{2}$ con respecto a

x

$x$ es

- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica

2

$2$ por

- 12

$- 12$ .

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como

36

$36$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

36

$36$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

4 x^{3} - 24 x + 0

$4 x^{3} - 24 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ y

0

$0$ .

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

f' (x) = 4 x^{3} - 24 x

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Paso 1.2

La primera derivada de

f (x)

$f (x)$ con respecto a

x

$x$ es

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ .

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a

0

$0$ , luego resuelve la ecuación

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a

0

$0$ .

4 x^{3} - 24 x = 0

$4 x^{3} - 24 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza

4 x

$4 x$ de

4 x^{3} - 24 x

$4 x^{3} - 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza

4 x

$4 x$ de

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

4 x (x^{2}) - 24 x = 0

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza

4 x

$4 x$ de

- 24 x

$- 24 x$ .

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza

4 x

$4 x$ de

4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ .

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

4 x (x^{2} - 6) = 0

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x^{2} - 6 = 0

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.4

Establece

x

$x$ igual a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Paso 2.5

Establece

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece

x^{2} - 6

$x^{2} - 6$ igual a

$0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve

$x^{2} - 6 = 0$ en

$x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Suma

$6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 6$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$4 x (x^{2} - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a

$0$ son

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 4

Divide

$(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de

$x$ que hacen que la derivada sea

$0$ o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo

$(- \infty, - \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 3.4494898$ en la expresión.

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva

$- 3.4494898$ a la potencia de

$3$ .

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$- 41.04540972$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2.1.3

Multiplica

$- 24$ por

$- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

Paso 5.2.2

Suma

$- 164.18163891$ y

$82.7877552$ .

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

Paso 5.2.3

La respuesta final es

$- 81.39388371$ .

$- 81.39388371$

Paso 5.3

$x = - 3.4494898$ la derivada es

$- 81.39388371$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en

$(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Decrecimiento en

$(- \infty, - \sqrt{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Decrecimiento en

$(- \infty, - \sqrt{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo

$(- 2.4494898, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1.2247449$ en la expresión.

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva

$- 1.2247449$ a la potencia de

$3$ .

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$- 1.83711743$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2.1.3

Multiplica

$- 24$ por

$- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

Paso 6.2.2

Suma

$- 7.34846974$ y

$29.3938776$ .

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

Paso 6.2.3

La respuesta final es

$22.04540785$ .

$22.04540785$

Paso 6.3

$x = - 1.2247449$ la derivada es

$22.04540785$ . Dado que es positivo, la función aumenta en

$(- 2.4494898, 0)$ .

Incremento en

$(- \sqrt{6}, 0)$ ya que

$f' (x) > 0$

Incremento en

$(- \sqrt{6}, 0)$ ya que

$f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo

$(0, \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1.2247449$ en la expresión.

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva

$1.2247449$ a la potencia de

$3$ .

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$1.83711743$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2.1.3

Multiplica

$- 24$ por

$1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

Paso 7.2.2

Resta

$29.3938776$ de

$7.34846974$ .

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

Paso 7.2.3

La respuesta final es

$- 22.04540785$ .

$- 22.04540785$

Paso 7.3

$x = 1.2247449$ la derivada es

$- 22.04540785$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en

$(0, \sqrt{6})$ .

Decrecimiento en

$(0, \sqrt{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Decrecimiento en

$(0, \sqrt{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo

$(\sqrt{6}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$3.4494898$ en la expresión.

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva

$3.4494898$ a la potencia de

$3$ .

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$41.04540972$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2.1.3

Multiplica

$- 24$ por

$3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

Paso 8.2.2

Resta

$82.7877552$ de

$164.18163891$ .

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

Paso 8.2.3

La respuesta final es

$81.39388371$ .

$81.39388371$

Paso 8.3

$x = 3.4494898$ la derivada es

$81.39388371$ . Dado que es positivo, la función aumenta en

$(\sqrt{6}, \infty)$ .

Incremento en

$(\sqrt{6}, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Incremento en

$(\sqrt{6}, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en:

$(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

Decrecimiento en:

$(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

Paso 10

Ingresa TU problema