Cálculo Ejemplos

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 3

$n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de

$f (x)$ con respecto a

$x$ es

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a

$0$ , luego resuelve la ecuación

$3 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a

$0$ .

$3 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en

$3 x^{2} = 0$ por

$3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en

$3 x^{2} = 0$ por

$3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide

$x^{2}$ por

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide

$0$ por

$3$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4

Simplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe

$0$ como

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.3

Más o menos

$0$ es

$0$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a

$0$ son

$0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada

$f' (x) = 3 x^{2}$ sea igual a

$0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde

$f (x) = x^{3}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo

$(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

Paso 5.2.2

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$f' (- 1) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es

$3$ .

$3$

Paso 5.3

$x = - 1$ la derivada es

$3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en

$(- \infty, 0)$ .

Incremento en

$(- \infty, 0)$ ya que

$f' (x) > 0$

Incremento en

$(- \infty, 0)$ ya que

$f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo

$(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$f' (1) = 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es

$3$ .

$3$

Paso 6.3

$x = 1$ la derivada es

$3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en

$(0, \infty)$ .

Incremento en

$(0, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Incremento en

$(0, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en:

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 8

Ingresa TU problema