Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ y $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Paso 2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 3.02727941$

Paso 3

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 3.02727941)$ en la primera derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3.02727941, \infty)$ en la primera derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $12$ por $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 864$ y $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 432$ y $1$ .

$f' (6) = - 431$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 431$ .

$- 431$

Paso 6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 3.02727941$ , hay un punto de inflexión en $x = 3.02727941$ .

Paso 7

Obtén la coordenada y de $3.02727941$ para obtener el punto de inflexión.

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Paso 7.1

Obtén $f (3.02727941)$ para obtener la coordenada y de $3.02727941$ .

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Paso 7.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.02727941$ en la expresión.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2

Simplifica $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

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Paso 7.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.2.1

Eleva $3.02727941$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.2.3

Eleva $3.02727941$ a la potencia de $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.1.2.3.1

Resta $83.98660555$ de $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Paso 7.1.2.3.2

Suma $26.98644204$ y $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Paso 7.1.2.3.3

Suma $30.01372146$ y $5$ .

$35.01372146$

Paso 7.2

Escribe las coordenadas $x$ y $y$ en forma de punto.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Paso 8

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