Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Paso 3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 7

Divide $1$ por $1$ .

$1$

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