Cálculo Ejemplos

lim x \to \infty \frac{x^{2}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim x \to \infty x^{2}}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3

Como el exponente

x

$x$ se acerca a

\infty

$\infty$ , la cantidad

e^{x}

$e^{x}$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim x \to \infty \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es

$a^{x} \ln (a)$ donde

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Paso 4

Mueve el término

$2$ fuera del límite porque es constante con respecto a

$x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 5.1.3

Como el exponente

$x$ se acerca a

$\infty$ , la cantidad

$e^{x}$ se acerca a

$\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

Como

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es

$a^{x} \ln (a)$ donde

$a$ =

$e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

$\frac{1}{e^{x}}$ se acerca a

$0$ .

$2 \cdot 0$

Paso 7

Multiplica

$2$ por

$0$ .

$0$

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