Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 1 + 0$

Paso 1.1.3.3

Suma $9 x^{2} + 1$ y $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $9 x^{2} + 1$ .

$9 x^{2} + 1$

Paso 2

Obtén si la derivada es continua en $(5, 7)$ .

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f' (x)$ es continua en $(5, 7)$ .

La función es continua.

Paso 3

La función es diferenciable en $(5, 7)$ porque la derivada es continua en $(5, 7)$ .

La función es diferenciable.

Paso 4

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