Cálculo Ejemplos

\frac{2 x + 6}{x} < 1

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Paso 1

Resta

1

$1$ de ambos lados de la desigualdad.

\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Paso 2

Simplifica

\frac{2 x + 6}{x} - 1

$\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Paso 2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 x + 6

$2 x + 6$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

2 x

$2 x$ .

\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Paso 2.1.2

Factoriza

2

$2$ de

6

$6$ .

\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Paso 2.1.3

Factoriza

2

$2$ de

2 x + 2 \cdot 3

$2 x + 2 \cdot 3$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Paso 2.2

Para escribir

- 1

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 2.3

Combina

- 1

$- 1$ y

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Paso 2.5.2

Multiplica

2

$2$ por

3

$3$ .

\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Paso 2.5.3

Resta

x

$x$ de

2 x

$2 x$ .

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a

0

$0$ y la resolución.

x = 0

$x = 0$

x + 6 = 0

$x + 6 = 0$

Paso 4

Resta

6

$6$ de ambos lados de la ecuación.

x = - 6

$x = - 6$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

x = 0

$x = 0$

x = - 6

$x = - 6$

Paso 6

Consolida las soluciones.

x = 0, - 6

$x = 0, - 6$

Paso 7

Obtén el dominio de

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

x = 0

$x = 0$

Paso 7.2

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

x < - 6

$x < - 6$

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo

x < - 6

$x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo

x < - 6

$x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = - 8

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza

x

$x$ con

- 8

$- 8$ en la desigualdad original.

\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Paso 9.1.3

1.25

$1.25$ del lado izquierdo no es menor que

1

$1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = - 3

$x = - 3$

Paso 9.2.2

Reemplaza

x

$x$ con

- 3

$- 3$ en la desigualdad original.

\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Paso 9.2.3

0

$0$ del lado izquierdo es menor que

1

$1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo

x > 0

$x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo

x > 0

$x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = 2

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza

x

$x$ con

2

$2$ en la desigualdad original.

\frac{2 (2) + 6}{2} < 1

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Paso 9.3.3

5

$5$ del lado izquierdo no es menor que

1

$1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

x < - 6

$x < - 6$ Falso

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Verdadero

x > 0

$x > 0$ Falso

x < - 6

$x < - 6$ Falso

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Verdadero

x > 0

$x > 0$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Notación de intervalo:

(- 6, 0)

$(- 6, 0)$

Paso 12

Ingresa TU problema